Persamaan Garis Singgung

Persamaan Garis singgung
 
Jika kurva y = f(x) disinggung oleh sebuah garis di titik (x₁, y₁) maka gradien garis singgung tersebut dapat dinyatakan dengan
m = f'(x₁)

Sementara x₁ dan y₁  mempunyai hubungan
y₁ = f(x₁)

Sementara itu persamaan garis singgungnya dapat dinyatakan dengan
y - y₁ = m(x - x₁)

Contoh 1 :
Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x³ - 6x di titik (3, 9)

Jawab :
f(x) = x³ - 6x
f '(x) = 3x² - 6
m = f '(3) = 27 - 6 = 21

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah
y - y₁ = m(x - x₁)
y - 9 = 21 (x - 3)
y - 9 = 21x - 63
y = 21x - 54

Contoh 2 :
Persamaan garis singgung pada kurva y = x² - 7x² + 20  di titik yang berabsis 2 adalah

Jawab :
x = 2
y = x⁴ - 7x² + 20 = y = 2⁴ - 7.2² + 20 = 16 - 28 + 20 = 8
m =y' = 4x³ - 14 x = 4.2³ - 14.2 = 32 - 28 = 4

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah
y - y₁ = m(x - x₁)
y - 8 = 4(x - 2)
y - 8 = 4x - 8
y = 4x

Contoh 3 :
Persamaan garis singgungpada kurva y = x³ + 10 di titik yang berordinat 18 yaitu ....

Jawab :
Ordinat yaitu nilai y, maka 
y = 18
x³ + 10 = 18
x³ = 8
x = 2

m = y' = 3x² = 3.2² = 12
Persamaan garis singgungnya adalah 
y - y₁ = m(x - x₁)
y - 18 = 12(x - 2)
y - 8 = 12x - 24
y = 12x - 16

Contoh 4 :
Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x² - x + 3 di titik yang berordinat 5

Jawab :
 ordinat = 5
y = 5
x² - x + 3 = 5
x² - x - 2 = 0
(x - 2)(x + 1) = 0
x = 2 atau x = -1

Untuk x = 2 maka
m = 2x - 1 = 4 - 1 = 3
y - y₁ = m(x - x₁)
y - 5 = 3(x - 2)
y - 5 = 3x - 6
y = 3x - 1

Untuk x = -1
m = 2x - 1 = -2 - 1 = -3
y - y₁ = m(x - x₁)
y - 5 = -3(x + 1)
y - 5 = -3x - 3
y = -3x + 2

Jadi, ada dua persamaan garis singgung, yaitu y = 3x - 1 atau y = -3x + 2

Contoh 5 :
Persamaan garis singgung pada kurva y = x⁴ - 5x² + 10 di titik yang berordinat 6 adalah

Jawab :
ordinat = 6
x⁴ - 5x² + 10 = 6
x⁴ - 5x² + 4 = 0
(x² - 1)(x² - 4) = 0
(x + 1)(x - 1)(x + 2)(x - 2) = 0
x = -1 atau x = 1 atau x = -2 atu x = 2

untuk x = -1
m = 4x³ - 10x = -4 + 10 = 6
y - y₁ = m(x - x₁)
y - 6 = 6(x + 1)
y - 6 = 6x + 6
y = 6x + 12

Untuk x = 1
m = 4x³ - 10x = 4 - 10 = -6
y - y₁ = m(x - x₁)
y -  6 = -6(x - 1)
y - 6 = -6x + 6
y = -6x + 12

Untuk x = -2
m = 4x³ - 10x = 4(-2)³ - 10(-2) = 4(-8) + 20 = -32 + 20 = -12
y - y₁ = m(x - x₁)
y - 6 = -12(x + 2)
y - 6 = -12x - 24
y = -12x - 18

Untuk x = 2
 m = 4x³ - 10x = 4.2³ - 10.2 = 4.8 - 20 = 32 - 20 = 12
y - y₁ = m(x - x₁)
y - 6 = 12(x - 2)
y - 6 = 12x - 24
y = 12x - 18

Jadi, ada 4 persamaan garis singung, yaitu y = 6x + 12, y = -6x = 12, y = -12x - 18 dan y = 12x - 18

Materi selanjutnya adalah  Persamaan Garis Singgung 2