Seperti kita ketahui bahwa jikalau z1 = r1 (cos t1 + i sin t1) dan z2 = r2 (cos t2 + i sin t2)
maka z1z2 = r1r2 (cos(t1 + t2) + i sin (t1 + t2)) ..............................(1)
Jika
r1 = r2 = r
t1 = t2 = t
maka
z1 = z2 = z = r(cos t + i sin t) maka persamaan (1) menjadi
z2 = r2(cos 2t + i sin 2t)
Sekarang bagaimana dengan z3 ?
misalkan kita mempunyai z3 = r3 (cos t3 + i sin t3) maka
Berdasarkan persamaan (1), jika z2 kita kalikan dengan z3 maka kita peroleh
z3z3 = r3.r3(cos(2t + t3) + i sin (2t + t3)) ....................................(2)
Jika r3 = r dan t3 = t maka z3 = z sehingga persamaan (2) akan menjadi
z2 = r3(cos 3t + i sin 3t)
Dengan cara yang sama akan kita peroleh
z2 = r4(cos 4t + i sin 4t)
z5 = r5(cos 5t + i sin 5t)
dan seterusnya
Jadi dapat diambil kesimpulan bahwa
Jika z = r(cos t + i sin t) maka zn = rn(cos nt + i sin nt)
Jika t kita ganti dengan -t maka
z = r(cos (-t) + i sin (-t)) = r(cos t - i sin t)
dan zn = rn(cos (-nt) + i sin (-nt)) = rn(cos nt - i sin nt)
Rumus de Moivre
Jika z = r(cos t + i sin t) maka zn = rn(cos nt + i sin nt)
Jika z = r(cos t - i sin t) maka zn = rn(cos nt - i sin nt)
Contoh 1
Jika z = 1 + i maka z10 = .....
Jawab :
maka t = 45o
sehingga
maka
Contoh 2
Jika z2 = 1 maka z = ....
Jawab :
z2 bisa dinyatakan dalam bentuk
z2 = cos 0o + i sin 0o atau z2 = cos 360o + i sin 360o
dengan menggunakan rumus de moivre maka kita peroleh
z = cos 0o + i sin 0o atau z = cos 180o + i sin 180o
z = 1 + 0 atau z = -1 + 0
z = 1 atau z = -1
Sebenarnya dengan analisis yang sudah biasa kita pakai, maka z2 akan ada 2 kemungkinan adalah 1 atau -1. Akan tetapi dengan menggunakan rumus de moivre ini maka untuk pangkat yang lebih besar akan jauh lebih mudah. Sekarang kita coba untuk z3
Contoh 3
Jika z3 = 1 maka z = ...
Jawab :
z3 dapat kita nyatakan dalam bentuk
z3 = cos 0o + i sin 0o atau z3 = cos 360o + i sin 360o atau z3 = cos cos 720o + i sin 720o
Dengan menggunakan rumus de moivre maka kita peroleh
z1 = cos 0o + i sin 0o atau z2 = cos 120o + i sin 120o atau z3 = cos 240o + i sin 240o
Cara II
z3 - 1 = 0
(z - 1)(z2 + z + 1) = 0
z = 1 atau z2 + z + 1 = 0
dengan menggunakan rumus ABC maka kita peroleh
0 Response to "Rumus De Moivre"