Persamaan Garis Singgung 2

Persamaan garis singgung yang diketahui gradiennya.

Pada bab ini kita mulai dari teladan 6 dan seterusnya. Contoh-contoh sebelumnya, silakan di klik di sini

Contoh 6 :
Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x⁴ - 100x yang bergradien 8

Jawab :
m = 8
y' = 8
4x³ - 100 = 8
4x³ = 108
x³ = 27
x = 3
y = x⁴ - 100x = 81 - 300 = - 219
Persamaan garisnya yaitu :
y - y₁ = m(x - x₁)
y + 219 = 8(x - 3)
y + 219 = 8x - 24
y = 8x - 243

Contoh 7 :
Persamaan garis singgung pada kurva y = 3x⁴ - 20 yang sejajar dengan garis y = 12x + 8 yaitu

Jawab :
y = 3x⁴ - 20
y' = 12x³
Persamaan garis yang sejajar dengan garis singgung adalah
y = 12x + 8
maka gradien garis ini yaitu m₁ = 12
Karena sejajar maka gradiennya sama sehingga gradien garis singgung (m₂) adalah
m₂ = m₁ = 12
gradien garis singgung ini sama dengan turunan kurva sehingga
y' = 12
12x³ = 12
x³ = 1
x = 1
maka y = 3x⁴ - 20 = 3 - 20 = - 17
Persamaan garis singgungnya yaitu
 y - y₁ = m(x - x₁)
y + 17 = 12(x - 1)
y + 17 = 12x - 12
y = 12x - 29

Contoh 8 :
Garis yang menyinggung kurva y = 12  - x⁴  dan tegak lurus dengan x - 32y = 48 mempunyai persamaan ....

Jawab :
y = 12  - x⁴
y' = - 4x³

Persamaan garis dari soal :
x - 32y = 48
32y = x - 48

Garis ini mempunyai gradien


Karena garis singgungnya tegak lurus dengan garis ini maka
m₁.m₂ = -1

m₂= -32
m₂ ini yaitu gradien garis singgung, sehingga sama dengan turunan
y' = -32
 - 4x³ = -32
x³ = 8
x = 2
 y = 12  - x⁴ = 12-2⁴ = -4
Persamaan garis singgungnya yaitu
y - y₁ = m(x - x₁)
y + 4 = -32(x - 2)
y + 4 = -32x + 64
y = -32x + 60

Contoh 9 :
Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = 1/x yang sejajar dengan garis x + 4y = 20 yaitu ...

Jawab :

maka


Persamaan garis dari soal yaitu
4y = -x + 20

gradien garis ini yaitu

Syarat 2 garis sejajar yaitu gradiennya sama sehingga gradien garis singgung (m₂) adalah

alasannya yaitu gradien garis singgung sama dengan turunan maka



x² = 4




Untuk x = 2 maka diperoleh :
y = 1/x = 1/2
maka persamaan garis singgungnya yaitu
y - y₁ = m(x - x₁)

Jika kedua ruas dikali 4 maka diperoleh :
4y - 2 = - x + 2
x + 4y - 4 = 0


Untuk x = - 2 maka diperoleh
y = 1/x = - 1/2
maka persamaan garis singgungnya yaitu
y - y₁ = m(x - x₁)



Jika kedua ruas dikali 4 maka
4y + 2 = -x - 2
x + 4y + 4 = 0

Contoh 10 :
Persamamaan garis singgung pada kurva y = x³ + 10 yang tegak lurus dengan x + 27y = 81 adalah  ....

Jawab :
y = x³ + 10
y' = 3x²
Persamaan garis dari soal adalah
 x + 27y = 81
27y = -x + 81

gradien garis ini adalah

Karena saling tegak lurus maka berlaku
m₁.m₂ = -1

m₂ = 27
Gradien garis singgung ini sama dengan turunan fungsi , sehingga
y' = 27
3x² = 27
x² = 9
x = 3 atau x = -3


Untuk x = 3 maka
y = x³ + 10 = 27 + 10 = 37
Persamaan garis singgungnya yaitu
y - y₁ = m(x - x₁)
y - 37 = 27(x - 3)
y - 37 = 27x - 81
y = 27x - 44


Untuk x = -3 maka
y = x³ + 10 = -27 + 10 = -17
Persamaan garis singgungnya yaitu
y - y₁ = m(x - x₁)
y + 17 = 27(x + 3)
y + 17 = 27x + 81
y = 27x + 64