Penyelesaian Umum Persamaan Kubik

Setiap persamaan kubik ax³+bx²+cx+d = 0 selalu dapat disederhanakan menjadi bentuk y³ + py + q = 0
Setelah kita mempunyai bentuk yang sederhana ini, langkah berikutnya yakni substitusi nilai y dengan m - p/(3m) . Dengan mensubstitusikan nilai tersebut maka persamaan kubik akan dapat disederhanakan menjadi persamaan kuadrat. Langkah tersebut dapat kita lakukan sebagai berikut :
y³ + py + q = 0




Jika kedua ruas dikali dengan m³ maka diperoleh

Bentuk terakhir ini merupakan persamaan kuadrat yang dinyatakan dalam m³, sehingga kita tinggal memasukkan ke dalam rumus ABC .

Sesuatu yang muncul di bawah akar pada hasil terakhir ini kita sebut diskriminan, yaitu :

Adapun sifat-sifat diskriminan tersebut yakni sebagai berikut :
D > 0 maka persamaan kubik mempunyai 1 akar real dan 2 akar tidak real
D = 0 maka persamaan kubik mempunyai akar kembar (bisa 2 akar kembar atau 3 akar kembar)
D < 0 maka persamaan kubik akan mempunyai tiga akar real


Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari x³-6x²+9x-1= 0


Jawab :
Yang pertama kita lakukan aadlah substitusikan nilai x = y - b/(3a), sehingga dalam hal ini yakni x = y + 2. Dengan demikian persamaan menjadi :
(y + 2)³-6(y + 2)²+9(y + 2)-1= 0
y³ + 3y².2 + 3y.2² + 2³ - 6(y² + 4y + 4) + 9y + 18 - 1 = 0
y³ + 6y² + 12y + 8 - 6y² - 24y - 24 + 9y + 17 = 0
y³ - 3y + 1 = 0
Selanjutnya kita substitusikan nilai y = m - p/(3m) atau y = m + 1/m, dengan demikian kita peroleh :




Jika kedua ruas dikali m³ maka diperoleh :
m⁶ + 1 + m³ = 0
m⁶ + m³ + 1 = 0
Dengan mensubstitusikan ke dalam rumus ABC maka diperoleh :

Jika kita perhatikan, nilai D < 0, dengan demikian persamaan ini mempunyai 3 akar real berbeda. Untuk memecahkan persamaan ini kita perlu memahami bilangan kompleks. bentuk di atas dapat ditulis sbb :

Jika kita tulis dalam bentuk polar maka kita dapat mengubah sebagai berikut :
m³ = cos 120^o + i sin 120^o atau m³ = cos 480^o + i sin 480^o atau m³ = cos 840^o + i sin 840^o
Dengan mengakarkan maka berarti kita tinggal membagi sudut dengan 3, maka diperoleh :
m₁ = cos 40^o + i sin 40^o atau m₂ = cos 160^o + i sin 160^o atau m₃ = cos 280^o + i sin 280^o
Karena

maka

Perhatikan bahwa



Dengan demikian

Dengan cara yang sama diperoleh

dan

karena
x = y + 2
maka
x₁ = y₁ + 2 = 2cos 40^o + 2
x₂ = y₂ + 2 = 2cos 160^o + 2
x₃ = y₃ + 2 = 2cos 280^o + 2
jadi himpunan penyelesaian dari persamaan x³-6x²+9x-1= 0 adalah
{2cos 40^o + 2, 2cos 160^o + 2, 2cos 280^o + 2}